Обучение доказательству

 

Обучение доказательству.

         Что понимать под обучением доказательству? Оказывается, что в разные периоды развития методики математики вкладывали различный смысл в содержание этого понятия. Примерно до 60-х гг. поскольку учащиеся не владели правилами вывода, то под обучением доказательству и можно было понимать лишь разучивание и воспроизведение доказательств, содержащихся в учебниках математики. Эта мысль очень ярко выражена в одной из работ того времени. В статье "К вопросу о понимании геометрических доказательств учащимися" (Изв. АПН РСФСР. Вып. 54. 1954) Ф. Н. Гоноболин выделяет три уровня понимания.

1. характеризуется тем, что учащиеся схватывают лишь отдельные фрагменты доказательства без последующей их связи друг с другом;

2.основная черта второго уровня состоит в понимании учащимися последовательной связи отдельных элементов доказательства, но без выделения логической схемы;

3 уровню свойственно понимание учеником идеи доказательства.

Ясно, что продвижение ученика в овладении приведенными уровнями понимания доказательства невозможно вне обучения его логическим действиям. Некоторыми исследователями обращается внимание на это. Так, рекомендуется специально обучать действиям подведения объекта под понятие, выведению следствий, правилам импликации, дедукции, контрапозиции и т. д.

С начала 70-х гг. под влиянием книг Д. Пойя, работ Ю. М. Колягина, 3. Крыговской и других меняется представление об обучении доказательству. Акцент смещается в сторону эвристической составляющей доказательства. Несколько резко эта мысль высказана А. А. Столяром: "Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств" (Педагогика математики. Минск, 1974. С.145).

Отметим еще одну важную мысль, содержащуюся в книге 3.И.Слепкань. Готовые доказательства, подчеркивает, должны выступать как модели, на которых школьники обучаются приемам умственной деятельности, лежащим в основе умения доказывать, применять различные методы доказательств, самостоятельно искать доказательства.

Удивительно, что многие годы оставалась и остается незамеченной книга И. Лакатоса "Доказательства и опровержения" (М., 1976), в которой были высказаны важные положения об обучении доказательству. В частности, автор выделяет следующие уровни владения доказательством: 1) понимание и воспроизведение готовых доказательств; 2) самостоятельный разбор готового доказательства; 3) осуществление самостоятельного доказательства; 4) опровержение предложенных доказательств.

Прежде чем сформулировать обобщенную концепцию обучения доказательству, выделим ряд психологических положений, имеющих непосредственное отношение к ней:

1) структуры мозга, руководящие аналитической деятельностью, формируются к 13—14 годам;

2) развитие "доказательного" мышления проходит две стадии. В собственно подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их. В юношеском же возрасте уже заметно выступает критическое отношение к готовым доказательствам и стремление к собственным доказательствам (П. П. Блонский, С. Л. Рубинштейн, М. Г. Ярошевский).

 

Начальный уровень умения доказывать характеризуется пониманием необходимости логических обоснований, навыками осуществлять простейшие дедуктивные выводы и пониманием того, что из одних утверждений логическим путем можно выводить новые утверждения. Он соотносится в основном с обучением математике учащихся V—VI классов.

Следующий уровень включает умение школьников осуществлять цепочки дедуктивных умозаключений, а также работу по формированию действий выведения следствий, преобразованию требования задачи (заключения теоремы) в новое, из которого данное вытекает как следствие, составлению вспомогательных задач.

Эти действия образуют основу поиска способа решения задачи (доказательства теоремы), а также применения методов научного познания (аналогии, обобщения и т.д.) в различных ситуациях и в этом смысле имеют эвристический характер.